広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を用いて積分を計算します。

$t = 1 - x$ とおくと、$x = 1 - t$ であり、$dx = -dt$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x = 0$ のとき $t = 1$、$x = 1$ のとき $t = 0$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx = \int_{1}^{0} \frac{1-t}{\sqrt{t}} (-dt) = \int_{0}^{1} \frac{1-t}{\sqrt{t}} dt = \int_{0}^{1} (\frac{1}{\sqrt{t}} - \frac{t}{\sqrt{t}}) dt = \int_{0}^{1} (t^{-1/2} - t^{1/2}) dt$

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (t^{-1/2} - t^{1/2}) dt = [\frac{t^{1/2}}{1/2} - \frac{t^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = [2\sqrt{t} - \frac{2}{3}t^{3/2}]_{0}^{1} = (2\sqrt{1} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}) - (2\sqrt{0} - \frac{2}{3}(0)^{3/2}) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$