ベータ関数またはガンマ関数を用いて、以下の2つの積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3{\theta} \cos^4{\theta} d\theta$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

1. 問題の内容

ベータ関数またはガンマ関数を用いて、以下の2つの積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3{\theta} \cos^4{\theta} d\theta$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx$

2. 解き方の手順

(1) の積分について：

ベータ関数を用いて計算します。ベータ関数の定義は以下の通りです。

$B(p, q) = 2\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}{\theta} \cos^{2q-1}{\theta} d\theta$

与えられた積分と比較すると、

$2p-1 = 3$ より $p = 2$

$2q-1 = 4$ より $q = \frac{5}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^3{\theta} \cos^4{\theta} d\theta = \frac{1}{2}B(2, \frac{5}{2})$

ベータ関数とガンマ関数の関係は以下の通りです。

$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

したがって、

$\frac{1}{2}B(2, \frac{5}{2}) = \frac{1}{2} \frac{\Gamma(2)\Gamma(\frac{5}{2})}{\Gamma(\frac{9}{2})}$

ガンマ関数の性質 $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ を用いると、

$\Gamma(2) = 1! = 1$

$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$

$\Gamma(\frac{9}{2}) = \frac{7}{2}\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi} = \frac{105}{16} \sqrt{\pi}$

よって、

$\frac{1}{2} \frac{\Gamma(2)\Gamma(\frac{5}{2})}{\Gamma(\frac{9}{2})} = \frac{1}{2} \frac{1 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\pi}}{\frac{105}{16} \sqrt{\pi}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{105} = \frac{2}{35}$

(2) の積分について：

$x^2 = t$ と置換すると、$2x dx = dt$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$

積分範囲は $x: 0 \to 1$ より $t: 0 \to 1$

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{2}[\arcsin{t}]_0^1 = \frac{1}{2} (\arcsin{1} - \arcsin{0}) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{35}$

(2) $\frac{\pi}{4}$