鉛直下向きにx軸をとり、原点から静かに物体を放す。物体には重力と、速度の2乗に比例する抵抗力が働く。 (1) 物体の運動方程式(x成分のみ)を求めよ。 (2) 速度と位置について一般解を求めよ。 (3) 原点から放した時刻をt=0として、速度と位置を時刻tで表せ。 (4) 終端速度を求めよ。

1. 問題の内容

鉛直下向きにx軸をとり、原点から静かに物体を放す。物体には重力と、速度の2乗に比例する抵抗力が働く。

(1) 物体の運動方程式(x成分のみ)を求めよ。

(2) 速度と位置について一般解を求めよ。

(3) 原点から放した時刻をt=0として、速度と位置を時刻tで表せ。

(4) 終端速度を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てる。

物体の質量を$m$、重力加速度を$g$、抵抗係数を$\alpha$、速度を$v$とすると、運動方程式は以下のようになる。

$m \frac{dv}{dt} = mg - \alpha v^2$

(2) 速度の一般解を求める。

$\frac{dv}{dt} = g - \frac{\alpha}{m} v^2$

$\frac{dv}{dt} = \frac{\alpha}{m} (\frac{mg}{\alpha} - v^2)$

$\int \frac{dv}{\frac{mg}{\alpha} - v^2} = \int \frac{\alpha}{m} dt$

$\int \frac{dv}{(\sqrt{\frac{mg}{\alpha}})^2 - v^2} = \frac{\alpha}{m} \int dt$

左辺は部分分数分解することで積分できる。

$\frac{1}{(\sqrt{\frac{mg}{\alpha}})^2 - v^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}} (\frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v} + \frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v})$

$\frac{1}{2\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}} \int (\frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v} + \frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v}) dv = \frac{\alpha}{m} \int dt$

$\frac{1}{2\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}} (ln|\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v| - ln|\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v|) = \frac{\alpha}{m} t + C_1$

$ln|\frac{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v}| = 2\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} \frac{\alpha}{m} t + C_2$

$ln|\frac{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v}| = 2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t + C_2$

$\frac{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v}{\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v} = C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t}$

$\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} + v = C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} (\sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - v)$

$v (1 + C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t}) = C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} - \sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} \frac{C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} - 1}{C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} + 1}$

(3) 初期条件$v(0) = 0$より、$C_3 = 1$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} \frac{e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} - 1}{e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} + 1}$

$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} tanh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t)$

位置$x(t)$を求める。

$x(t) = \int v(t) dt = \int \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} tanh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t) dt$

$x(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{g\alpha}} ln(cosh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t)) + C_4$

$x(t) = \frac{m}{\alpha} ln(cosh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t)) + C_4$

初期条件$x(0) = 0$より、$C_4 = 0$

$x(t) = \frac{m}{\alpha} ln(cosh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t))$

(4) 終端速度を求める。

$t \to \infty$のとき、$v(t) \to \sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$

3. 最終的な答え

(1) 運動方程式：$m \frac{dv}{dt} = mg - \alpha v^2$

(2) 速度の一般解：$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} \frac{C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} - 1}{C_3 e^{2\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t} + 1}$、位置の一般解：$x(t) = \frac{m}{\alpha} ln(cosh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t)) + C_4$

(3) 速度：$v(t) = \sqrt{\frac{mg}{\alpha}} tanh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t)$、位置：$x(t) = \frac{m}{\alpha} ln(cosh(\sqrt{\frac{g\alpha}{m}} t))$

(4) 終端速度：$\sqrt{\frac{mg}{\alpha}}$