長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG:GQ:QD の比を求めよ。 (3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 5cm、BC = 9cmである。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEと重なるように折ったときの折れ線をPQ、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG:GQ:QD の比を求めよ。

(3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さについて

CP = EPである。

BP = x とすると、AP = 9 - x となる。

△EBPは直角三角形なので、三平方の定理より、

$EP^2 = EB^2 + BP^2$

$EP^2 = 3^2 + x^2 = 9 + x^2$

また、CP = EP より、

$EP^2 = CP^2 = (9-x)^2$

したがって、$9 + x^2 = (9-x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

よって、BP = 4cm

(2) AG:GQ:QDの比について

まず、∠EBP = 90度、∠FPQ = 90度である。AD // BCより、∠DAQ = ∠CPQである。

また、∠CPQ = ∠EPQ である。

△AGFと△QGEを考える。

AE = AB - BE = 5 - 3 = 2 cm

FD = AD = 9 cm

FQ = DQ

AQ = AD - QD = 9 - QD

∠FAQ = ∠FEA

(3) 四角形EPQGの面積について

点PからADに垂線を下ろし、交点をHとすると、PH = 9cm - 4cm = 5cmである。また、AH=5cmなので、四角形EAPHは正方形である。

PQはECの垂直二等分線なので、∠CPQ = ∠EPQ。

△EBPにおいて、tan∠BEP = BP/BE = 4/3

∠ECB = ∠AEQ

また、AE = 2cm、AD = 9cmより、DE = $\sqrt{AD^2 + AE^2}$

$DE = \sqrt{81 + 4} = \sqrt{85}$

3. 最終的な答え

(1) BP = 4 cm

(2) 解けませんでした

(3) 解けませんでした