ある財の需要曲線が $D = 250 - 5p$ で与えられています（D: 需要量、p: 価格）。 (1) 価格が30のときの需要の価格弾力性を求めます。 (2) 需要の価格弾力性が1となる価格と需要量を求めます。

1. 問題の内容

ある財の需要曲線が $D = 250 - 5p$ で与えられています（D: 需要量、p: 価格）。

(1) 価格が30のときの需要の価格弾力性を求めます。

(2) 需要の価格弾力性が1となる価格と需要量を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 需要の価格弾力性 $E_d$ は、以下の式で定義されます。

$E_d = \frac{\Delta D / D}{\Delta p / p} = \frac{dD}{dp} \cdot \frac{p}{D}$

需要曲線 $D = 250 - 5p$ を $p$ で微分すると、

$\frac{dD}{dp} = -5$

価格が30のとき、需要量は $D = 250 - 5 \times 30 = 250 - 150 = 100$ となります。

したがって、価格が30のときの価格弾力性は、

$E_d = -5 \cdot \frac{30}{100} = -1.5$

(2) 需要の価格弾力性が1となる価格を $p$ とすると、

$|E_d| = 1$

$|-5 \cdot \frac{p}{250 - 5p}| = 1$

$5p = |250 - 5p|$

2つのケースを考えます。

ケース1： $250 - 5p > 0$ のとき、

$5p = 250 - 5p$

$10p = 250$

$p = 25$

このとき、$D = 250 - 5 \times 25 = 250 - 125 = 125$

ケース2： $250 - 5p < 0$ のとき、

$5p = -(250 - 5p)$

$5p = -250 + 5p$

これは成り立ちません。

したがって、価格弾力性が1となるのは $p=25$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) 価格が30のときの需要の価格弾力性は -1.5 です。

(2) 需要の価格弾力性が1となる価格は 25 です。

(3) 需要の価格弾力性が1となる需要量は 125 です。