(1) 連立方程式 $\begin{cases} 2x - ay = -1 \\ bx + 4y = -8 \end{cases}$ の解が $x = -5, y = -3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。 (2) 連立方程式 $\begin{cases} ax + by = 1 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$ と $\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ bx + ay = 4 \end{cases}$ の解が同じであるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立方程式 $\begin{cases} 2x - ay = -1 \\ bx + 4y = -8 \end{cases}$ の解が $x = -5, y = -3$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

(2) 連立方程式 $\begin{cases} ax + by = 1 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$ と $\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ bx + ay = 4 \end{cases}$ の解が同じであるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

連立方程式 $\begin{cases} 2x - ay = -1 \\ bx + 4y = -8 \end{cases}$ に $x = -5, y = -3$ を代入する。

$2(-5) - a(-3) = -1$ より、 $-10 + 3a = -1$。よって、

$3a = 9$

$a = 3$

$b(-5) + 4(-3) = -8$ より、 $-5b - 12 = -8$。よって、

$-5b = 4$

$b = -\frac{4}{5}$

(2)

連立方程式 $\begin{cases} ax + by = 1 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$ と $\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ bx + ay = 4 \end{cases}$ の解が同じなので、まず、$\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 3x - 5y = -1 \end{cases}$ を解く。

$2x + 3y = 12$ … (1)

$3x - 5y = -1$ … (2)

(1) * 3 - (2) * 2 より、

$6x + 9y - (6x - 10y) = 36 - (-2)$

$19y = 38$

$y = 2$

(1) に $y = 2$ を代入する。

$2x + 3(2) = 12$

$2x + 6 = 12$

$2x = 6$

$x = 3$

よって、$x = 3, y = 2$ を $\begin{cases} ax + by = 1 \\ bx + ay = 4 \end{cases}$ に代入すると、

$3a + 2b = 1$ … (3)

$3b + 2a = 4$ … (4)

(3) * 2 - (4) * 3 より、

$6a + 4b - (9b + 6a) = 2 - 12$

$-5b = -10$

$b = 2$

(3) に $b = 2$ を代入する。

$3a + 2(2) = 1$

$3a + 4 = 1$

$3a = -3$

$a = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = -\frac{4}{5}$

(2) $a = -1, b = 2$