4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 - 8x^2 + k = 0$ が異なる4つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 = t$ とおくと、与えられた4次方程式は $t$ の2次方程式になります。

$t^2 - 8t + k = 0$

この2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つとき、元の4次方程式は異なる4つの実数解を持ちます。なぜなら、$x^2 = t$ であるので、$t$ が正のとき、$x = \pm\sqrt{t}$ の2つの実数解を持つからです。

$f(t) = t^2 - 8t + k$ とおくと、この2次方程式が異なる2つの正の実数解を持つ条件は以下の3つです。

(1) 判別式 $D > 0$

$D = (-8)^2 - 4(1)(k) = 64 - 4k > 0$

$4k < 64$

$k < 16$

(2) 軸 > 0

軸は $t = -(-8)/2(1) = 4 > 0$ なので、これは常に満たされます。

(3) $f(0) > 0$

$f(0) = 0^2 - 8(0) + k = k > 0$

したがって、$0 < k < 16$ が求める $k$ の範囲です。

3. 最終的な答え

$0 < k < 16$

選択肢の5が正解です。