二次関数 $y = 9 - x^2$ のグラフと $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。線分 $OA$ 上に点 $P$ を取る。点 $P$ から $y$ 軸に平行な直線を引き、グラフとの交点を $Q$ とする。点 $Q$ から $x$ 軸に平行な直線を引き、グラフとの交点を $R$ とする。点 $R$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、その交点を $S$ とする。このとき、長方形 $PQRS$ の周の長さ $l$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 9 - x^2$ のグラフと $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。線分 $OA$ 上に点 $P$ を取る。点 $P$ から $y$ 軸に平行な直線を引き、グラフとの交点を $Q$ とする。点 $Q$ から $x$ 軸に平行な直線を引き、グラフとの交点を $R$ とする。点 $R$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、その交点を $S$ とする。このとき、長方形 $PQRS$ の周の長さ $l$ の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とおく。このとき、点 $P$ の座標は $(t, 0)$ である。

点 $Q$ は、点 $P$ から $y$ 軸に平行な直線上にあるので、$x$ 座標は $t$ である。点 $Q$ は $y = 9 - x^2$ 上にあるので、点 $Q$ の座標は $(t, 9 - t^2)$ である。

点 $R$ は、点 $Q$ から $x$ 軸に平行な直線上にあるので、$y$ 座標は $9 - t^2$ である。点 $R$ は $y = 9 - x^2$ 上にあるので、$9 - t^2 = 9 - x^2$ より $x^2 = t^2$。点 $R$ は $x$ 軸の正の部分にあるので、$x = \sqrt{9-y} >0$。点Rのx座標は $x = \sqrt{9-(9-t^2)} = \sqrt{t^2} = t$ となる。しかし点Rは点Qとは異なるので、$x = \sqrt{9-(9-t^2)} = t$ではない。

$y = 9 - x^2$を変形して、$x = \sqrt{9 - y}$となるので、点Rのx座標は $\sqrt{9 - (9-t^2)} = \sqrt{t^2} = |t|$。ここでRはQとは異なる点なので、Rは x = -t

点 $S$ は、点 $R$ から $x$ 軸に垂線を下ろした点なので、座標は $(\sqrt{9 - (9-t^2)} , 0) = ( \sqrt{t^2}, 0 )= (t,0)$ となる。ただしRはQと異なる点なので、点$S$のx座標は $-t$ となる。したがって$S$の座標は $(-t, 0)$ となる。

$PQ = 9 - t^2$, $PS = \sqrt{9 - (9-t^2)} - t = -t-t=2t$ である。したがって長方形 $PQRS$ の周の長さ $l$ は、

$l = 2(PQ + PS) = 2((9 - t^2) + (2t)) = 2(-t^2 + 2t + 9) = -2t^2 + 4t + 18$

$l = -2(t^2 - 2t) + 18 = -2(t^2 - 2t + 1 - 1) + 18 = -2((t - 1)^2 - 1) + 18 = -2(t - 1)^2 + 2 + 18 = -2(t - 1)^2 + 20$

したがって、$l$ は $t = 1$ のとき最大値 $20$ をとる。

このとき、$x = t = 1$ である。

3. 最終的な答え

長方形 $PQRS$ の周の長さ $l$ の最大値は $20$ であり、そのときの $x$ の値は $1$ である。