3. (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 1$ の頂点の座標を $(p, q)$ とおくとき、$p - q$ の値を求める。 (2) 与えられたグラフ $y = 2x^2 + 4x - 1$ を $x$ 軸方向に $m$, $y$ 軸方向に $n$ だけ平行移動したものが2次関数 $y = 2x^2 - 6x$ のグラフと一致するとき、$m + n$ の値を求める。 4. (1) 2160 を素因数分解すると $2^p3^q5^r$ となるとき、$p + q + r$ の値を求める。 (2) 2160 と 1350 の最大公約数を $G$, 最小公倍数を $L$ とするとき、$\frac{L}{G}$ の値を求める。

1. 問題の内容

3. (1) 2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 1$ の頂点の座標を $(p, q)$ とおくとき、$p - q$ の値を求める。

(2) 与えられたグラフ $y = 2x^2 + 4x - 1$ を $x$ 軸方向に $m$, $y$ 軸方向に $n$ だけ平行移動したものが2次関数 $y = 2x^2 - 6x$ のグラフと一致するとき、$m + n$ の値を求める。

4. (1) 2160 を素因数分解すると $2^p3^q5^r$ となるとき、$p + q + r$ の値を求める。

(2) 2160 と 1350 の最大公約数を $G$, 最小公倍数を $L$ とするとき、$\frac{L}{G}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

3. (1) $y = 2x^2 + 4x - 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) - 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 1 = 2(x+1)^2 - 2 - 1 = 2(x+1)^2 - 3$

よって、頂点の座標は $(-1, -3)$ なので、 $p = -1, q = -3$

$p - q = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$

(2) $y = 2x^2 - 6x$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 3x) = 2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}$

よって、頂点の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{2})$

グラフ $y = 2x^2 + 4x - 1$ を $x$ 軸方向に $m$, $y$ 軸方向に $n$ だけ平行移動すると、頂点の座標は $(-1 + m, -3 + n)$ となる。

これが $(\frac{3}{2}, -\frac{9}{2})$ と一致するので、

$-1 + m = \frac{3}{2} \implies m = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$

$-3 + n = -\frac{9}{2} \implies n = -\frac{9}{2} + 3 = -\frac{9}{2} + \frac{6}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、$m + n = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

4. (1) 2160 を素因数分解する。

$2160 = 216 \times 10 = 2^3 \times 3^3 \times 2 \times 5 = 2^4 \times 3^3 \times 5^1$

よって、$p = 4, q = 3, r = 1$

したがって、$p + q + r = 4 + 3 + 1 = 8$

(2) 2160 と 1350 の最大公約数と最小公倍数を求める。

$2160 = 2^4 \times 3^3 \times 5^1$

$1350 = 135 \times 10 = 5 \times 27 \times 2 \times 5 = 2^1 \times 3^3 \times 5^2$

最大公約数 $G = 2^1 \times 3^3 \times 5^1 = 2 \times 27 \times 5 = 270$

最小公倍数 $L = 2^4 \times 3^3 \times 5^2 = 16 \times 27 \times 25 = 10800$

したがって、$\frac{L}{G} = \frac{10800}{270} = \frac{1080}{27} = 40$

3. 最終的な答え

[3]

(1) 2

(2) 1

[4]

(1) 8

(2) 40