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$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta \cos \theta$ の値と $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta$ の値を求める問題。

代数学三角関数三角関数の恒等式式の計算因数分解
2025/8/2

1. 問題の内容

sin⁡θ+cos⁡θ=14\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4} のとき、sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta の値と sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3 \theta + \cos^3 \theta の値を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡θ+cos⁡θ=14\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4} の両辺を2乗する。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=(14)2(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{4})^2
sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=116\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{16}
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 であるから、
1+2sin⁡θcos⁡θ=1161 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16}
2sin⁡θcos⁡θ=116−1=116−1616=−15162 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = \frac{1}{16} - \frac{16}{16} = -\frac{15}{16}
sin⁡θcos⁡θ=−1532\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}
次に、sin⁡3θ+cos⁡3θ\sin^3 \theta + \cos^3 \theta の値を求める。因数分解の公式 a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) を使う。
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)(1−sin⁡θcos⁡θ)\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\sin \theta + \cos \theta)(1 - \sin \theta \cos \theta)
sin⁡θ+cos⁡θ=14\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4} と sin⁡θcos⁡θ=−1532\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32} を代入する。
sin⁡3θ+cos⁡3θ=(14)(1−(−1532))=(14)(1+1532)=(14)(3232+1532)=(14)(4732)=47128\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = (\frac{1}{4})(1 - (-\frac{15}{32})) = (\frac{1}{4})(1 + \frac{15}{32}) = (\frac{1}{4})(\frac{32}{32} + \frac{15}{32}) = (\frac{1}{4})(\frac{47}{32}) = \frac{47}{128}

3. 最終的な答え

sin⁡θcos⁡θ=−1532\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}
sin⁡3θ+cos⁡3θ=47128\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \frac{47}{128}

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