$x$軸と2点$(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-3$である放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

$x$軸と2点$(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-3$である放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

放物線は、$x$軸と$(-\sqrt{2}, 0)$と$(\sqrt{2}, 0)$で交わるので、放物線の方程式は次のように表せる。

$y = a(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})$

これを展開すると、

$y = a(x^2 - 2)$

$y = ax^2 - 2a$

放物線の頂点の$y$座標が$-3$であるので、頂点の座標は$(0, -3)$である。

したがって、

$-2a = -3$

$a = \frac{3}{2}$

これを、$y = ax^2 - 2a$に代入すると、

$y = \frac{3}{2}x^2 - 2 \cdot \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3$

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3$