(1) 3点 $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 8)$ を通る放物線の方程式を求めよ。 (2) $x$軸と2点 $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$ で交わり、頂点の$y$座標が $-3$ である放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3点 $(2, 0)$, $(-4, 0)$, $(0, 8)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

(2) $x$軸と2点 $(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$ で交わり、頂点の$y$座標が $-3$ である放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 求める放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

与えられた3点の座標を代入して、$a, b, c$ に関する連立方程式を作る。

3点の座標を代入すると、

\begin{align*}

4a + 2b + c &= 0 \\

16a - 4b + c &= 0 \\

c &= 8

\end{align*}

$c = 8$ を他の2つの式に代入して整理すると、

\begin{align*}

4a + 2b + 8 &= 0 \\

16a - 4b + 8 &= 0

\end{align*}

整理して、

\begin{align*}

2a + b + 4 &= 0 \\

4a - b + 2 &= 0

\end{align*}

2つの式を足し合わせると、

$6a + 6 = 0$ となるので、$a = -1$。

$b = -2a - 4 = 2 - 4 = -2$。

したがって、$a = -1, b = -2, c = 8$ であるから、求める放物線の方程式は $y = -x^2 - 2x + 8$。

(2) $x$軸との交点が $(-\sqrt{2}, 0)$ と $(\sqrt{2}, 0)$ なので、放物線の方程式は $y = a(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) = a(x^2 - 2)$ と書ける。

頂点の$y$座標が $-3$ であることから、$x=0$ のとき $y = -3$ となる。

$y = a(0 - 2) = -2a = -3$ より、$a = \frac{3}{2}$。

よって、放物線の方程式は $y = \frac{3}{2}(x^2 - 2) = \frac{3}{2}x^2 - 3$。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 - 2x + 8$

(2) $y = \frac{3}{2}x^2 - 3$