$x$軸と2点$(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-3$である放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$x$軸と2点$(-\sqrt{2}, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-3$である放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線は、頂点の座標を$(p, q)$とすると、一般的に

$y = a(x-p)^2 + q$

と表される。

問題より、頂点の$y$座標は$-3$なので、$q = -3$である。

また、$x$軸と$(-\sqrt{2}, 0)$と$(\sqrt{2}, 0)$で交わるので、頂点の$x$座標は$x = 0$となる。したがって、$p=0$である。

よって、放物線の方程式は

$y = ax^2 - 3$

と表せる。

放物線は点$(\sqrt{2}, 0)$を通るので、

$0 = a (\sqrt{2})^2 - 3$

$0 = 2a - 3$

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

したがって、放物線の方程式は

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3$

3. 最終的な答え

$y = \frac{3}{2}x^2 - 3$