2点A(-2, 0), B(3, 5)からの距離の比が2:3である点の軌跡の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点A(-2, 0), B(3, 5)からの距離の比が2:3である点の軌跡の方程式を求める。

2. 解き方の手順

求める軌跡上の点をP(x, y)とする。

点Pから点Aまでの距離をPA、点Pから点Bまでの距離をPBとすると、

$PA:PB = 2:3$

という関係が成り立つ。

この比の関係から、

$3PA = 2PB$

両辺を2乗して、

$9PA^2 = 4PB^2$

PA, PBは距離なので、

$PA = \sqrt{(x-(-2))^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

$PB = \sqrt{(x-3)^2 + (y-5)^2}$

これらを$9PA^2 = 4PB^2$に代入すると、

$9((x+2)^2 + y^2) = 4((x-3)^2 + (y-5)^2)$

$9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 10y + 25)$

$9x^2 + 36x + 36 + 9y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 - 40y + 100$

$5x^2 + 60x + 5y^2 + 40y - 100 = 0$

$x^2 + 12x + y^2 + 8y - 20 = 0$

$(x^2 + 12x) + (y^2 + 8y) - 20 = 0$

$(x^2 + 12x + 36) + (y^2 + 8y + 16) - 20 - 36 - 16 = 0$

$(x+6)^2 + (y+4)^2 = 72$

3. 最終的な答え

$(x+6)^2 + (y+4)^2 = 72$