整式 $f(x)$ は $x-1$ で割り切れ、商は $Q(x)$ である。さらに $Q(x)$ は $x-2$ で割ると商が $g(x)$ で余り 4 である。 (1) $f(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求める。 (2) $f(4) = 0$ のとき $g(4)$ の値を求め、さらに $g(x)$ を $x-4$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ は $x-1$ で割り切れ、商は $Q(x)$ である。さらに $Q(x)$ は $x-2$ で割ると商が $g(x)$ で余り 4 である。

(1) $f(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求める。

(2) $f(4) = 0$ のとき $g(4)$ の値を求め、さらに $g(x)$ を $x-4$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x)$ は $x-1$ で割り切れるので、

$f(x) = (x-1)Q(x)$

$Q(x)$ は $x-2$ で割ると商が $g(x)$ で余りが 4 であるので、

$Q(x) = (x-2)g(x) + 4$

したがって、

$f(x) = (x-1)[(x-2)g(x) + 4] = (x-1)(x-2)g(x) + 4(x-1)$

$f(x) = (x-1)(x-2)g(x) + 4x - 4$

$f(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りは $4x - 4$ である。

(2)

$f(4) = 0$ より

$f(4) = (4-1)Q(4) = 3Q(4) = 0$

よって $Q(4) = 0$

$Q(x) = (x-2)g(x) + 4$ に $x = 4$ を代入すると、

$Q(4) = (4-2)g(4) + 4 = 2g(4) + 4$

$Q(4) = 0$ なので、 $2g(4) + 4 = 0$

$2g(4) = -4$

$g(4) = -2$

$g(x)$ を $x-4$ で割った余りは $g(4)$ であるから、求める余りは -2。

3. 最終的な答え

(1) $4x - 4$

(2) $g(4) = -2$ 、余りは -2