$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$ を計算して簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$ を計算して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。

まず、$\sqrt{12}$を簡単にします。

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$なので、与えられた式は

$\sqrt{7+2(2\sqrt{3})}=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$となります。

次に、$7+4\sqrt{3}$を $(a+b)^2$の形に変形することを考えます。

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$であるため、$2ab = 4\sqrt{3}$となるような$a, b$を見つけます。

$ab = 2\sqrt{3}$なので、$a$と$b$はそれぞれ$\sqrt{3}$を含む形になるだろうと予想できます。

$a=2$ ,$b=\sqrt{3}$とすると、$a^2+b^2 = 4+3=7$となり、与えられた式のルートの中身と一致します。

したがって、

$7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$

よって、

$\sqrt{7+4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2+\sqrt{3}$