体積が $144 \text{cm}^3$ の円錐を、底面に平行な平面で切ったとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が $2:1$ であった。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

体積が $144 \text{cm}^3$ の円錐を、底面に平行な平面で切ったとき、底面の円の半径と切り口の円の半径の比が $2:1$ であった。上の部分の円錐の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、小さい円錐と大きい円錐は相似であり、相似比は半径の比に等しいので、$1:2$ であることがわかります。

体積比は相似比の3乗に等しいので、小さい円錐と大きい円錐の体積比は $1^3 : 2^3 = 1:8$ となります。

大きい円錐の体積が $144 \text{cm}^3$ なので、小さい円錐の体積を $x \text{cm}^3$ とすると、

$x : 144 = 1 : 8$ という比例式が成り立ちます。

この比例式を解くと、$8x = 144$ となり、$x = \frac{144}{8} = 18$ となります。

3. 最終的な答え

$18 \text{cm}^3$