2つの直線 $y = 3x + 1$ と $y = \frac{1}{2}x + 2$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = 3x + 1$ と $y = \frac{1}{2}x + 2$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$、$m_2$ とすると、$m_1 = 3$、$m_2 = \frac{1}{2}$ である。

2つの直線がなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta$ は以下のように表される。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

$m_1$ と $m_2$ の値を代入する。

$\tan \theta = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right|$

$\tan \theta = |1|$

$\tan \theta = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\tan \theta = 1$ を満たす $\theta$ を求める。

$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$