三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$であるとき、角Cの角度を求め、さらにこの三角形の内接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $b=5$, $c=7$であるとき、角Cの角度を求め、さらにこの三角形の内接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 角Cの計算: 余弦定理を用いて角Cを求めます。

余弦定理は、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$と表されます。

この式に$a=3$, $b=5$, $c=7$を代入すると、

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{C}$

$49 = 9 + 25 - 30\cos{C}$

$49 = 34 - 30\cos{C}$

$15 = -30\cos{C}$

$\cos{C} = -\frac{1}{2}$

$C = 120^\circ$

(2) 内接円の半径の計算:

三角形の面積Sを2通りの方法で表し、内接円の半径rを求めます。

(a) ヘロンの公式を用いた面積計算:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+5+7}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-7)}$

$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(b) 内接円の半径を用いた面積計算:

$S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs = \frac{15}{2}r$

(a)と(b)の面積が等しいので、

$\frac{15}{2}r = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$r = \frac{2}{15} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

C = 120度

内接円の半径は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。