極座標で表された点(1) $(2, \frac{3}{4}\pi)$ と (2) $(1, -\frac{\pi}{6})$ の直交座標$(x, y)$をそれぞれ求め、選択肢から適切なものを選びます。

1. 問題の内容

極座標で表された点(1) $(2, \frac{3}{4}\pi)$ と (2) $(1, -\frac{\pi}{6})$ の直交座標$(x, y)$をそれぞれ求め、選択肢から適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

極座標$(r, \theta)$から直交座標$(x, y)$への変換は、以下の式で行います。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

(1) $(2, \frac{3}{4}\pi)$の場合：

$x = 2 \cos (\frac{3}{4}\pi) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}$

$y = 2 \sin (\frac{3}{4}\pi) = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}$

したがって、直交座標は $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。選択肢の中では③が該当します。

(2) $(1, -\frac{\pi}{6})$の場合：

$x = 1 \cdot \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = 1 \cdot \sin(-\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$

したがって、直交座標は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$。選択肢の中では④が該当します。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 4