与えられた直交座標を極座標 $(r, \theta)$ に変換する問題です。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$とします。

1. 問題の内容

与えられた直交座標を極座標 $(r, \theta)$ に変換する問題です。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$とします。

2. 解き方の手順

直交座標 $(x, y)$ を極座標 $(r, \theta)$ に変換するには、以下の公式を使用します。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ (ただし、象限を考慮する必要があります)

(1) $(1, \sqrt{3})$

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$

したがって、極座標は $(2, \frac{\pi}{3})$ となります。

(2) $(2, -2)$

$r = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{-2}{2}\right) = \arctan(-1)$

$x$が正で、$y$が負なので、$\theta$は第4象限の角度です。したがって、

$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

したがって、極座標は $(2\sqrt{2}, \frac{7\pi}{4})$ となります。

(3) $(0, -\sqrt{2})$

$r = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2}$

$x = 0$で、$y$が負なので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

したがって、極座標は $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{2})$ となります。

3. 最終的な答え

(1) ⑤

(2) ⑤

(3) ⑤