与えられた媒介変数表示がどのような曲線を表すかを答える問題です。 (1) $\begin{cases} x = 3\cos t - 2 \\ y = 3\sin t + 4 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x = 4\cos t + 5 \\ y = 2\sin t - 3 \end{cases}$ それぞれの媒介変数表示が表す曲線の種類と、その特徴を答える必要があります。

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示がどのような曲線を表すかを答える問題です。

(1) $\begin{cases} x = 3\cos t - 2 \\ y = 3\sin t + 4 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x = 4\cos t + 5 \\ y = 2\sin t - 3 \end{cases}$

それぞれの媒介変数表示が表す曲線の種類と、その特徴を答える必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

$x = 3\cos t - 2$ より、$\cos t = \frac{x+2}{3}$

$y = 3\sin t + 4$ より、$\sin t = \frac{y-4}{3}$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ なので、

$(\frac{x+2}{3})^2 + (\frac{y-4}{3})^2 = 1$

$\frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1$

$(x+2)^2 + (y-4)^2 = 9$

これは中心が $(-2, 4)$、半径が $\sqrt{9} = 3$ の円を表します。

(2)

$x = 4\cos t + 5$ より、$\cos t = \frac{x-5}{4}$

$y = 2\sin t - 3$ より、$\sin t = \frac{y+3}{2}$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ なので、

$(\frac{x-5}{4})^2 + (\frac{y+3}{2})^2 = 1$

$\frac{(x-5)^2}{16} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$

これは楕円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 1