媒介変数表示された曲線がどのような曲線を表すかを選択肢から選ぶ問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。 (1) $x = 2\cos t + 5$, $y = 2\sin t - 3$ (2) $x = 4\cos t + 3$, $y = 5\sin t - 1$ (3) $x = 4\cos t - 2$, $y = 2\sin t + 3$

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線がどのような曲線を表すかを選択肢から選ぶ問題です。具体的には、以下の3つの問題があります。

(1) $x = 2\cos t + 5$, $y = 2\sin t - 3$

(2) $x = 4\cos t + 3$, $y = 5\sin t - 1$

(3) $x = 4\cos t - 2$, $y = 2\sin t + 3$

2. 解き方の手順

(1)

$x = 2\cos t + 5$ より $\cos t = \frac{x-5}{2}$

$y = 2\sin t - 3$ より $\sin t = \frac{y+3}{2}$

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ より、 $(\frac{x-5}{2})^2 + (\frac{y+3}{2})^2 = 1$

$(x-5)^2 + (y+3)^2 = 4 = 2^2$

これは中心$(5, -3)$、半径2の円を表します。

(2)

$x = 4\cos t + 3$ より $\cos t = \frac{x-3}{4}$

$y = 5\sin t - 1$ より $\sin t = \frac{y+1}{5}$

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ より、 $(\frac{x-3}{4})^2 + (\frac{y+1}{5})^2 = 1$

$\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{25} = 1$

これは楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ を$x$軸方向に3、$y$軸方向に-1だけ平行移動した楕円を表します。

(3)

$x = 4\cos t - 2$ より $\cos t = \frac{x+2}{4}$

$y = 2\sin t + 3$ より $\sin t = \frac{y-3}{2}$

$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ より、 $(\frac{x+2}{4})^2 + (\frac{y-3}{2})^2 = 1$

$\frac{(x+2)^2}{16} + \frac{(y-3)^2}{4} = 1$

これは楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ を$x$軸方向に-2、$y$軸方向に3だけ平行移動した楕円を表します。

3. 最終的な答え

(1) ⑤中心(5, -3), 半径2の円

(2) ④楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ を $x$軸方向に3, $y$軸方向に-1だけ平行移動した楕円

(3) ⑤楕円 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ を $x$軸方向に-2, $y$軸方向に3だけ平行移動した楕円