複素数平面上の3点P($z_1$)、Q($z_2$)、R($z_3$)があり、$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ が成り立つとき、三角形PQRがどのような三角形であるかを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点P($z_1$)、Q($z_2$)、R($z_3$)があり、$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ が成り立つとき、三角形PQRがどのような三角形であるかを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数の比を極形式で表します。

$\frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}} = e^{i\frac{\pi}{3}}$

したがって、$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ となります。

この式は、ベクトル $\overrightarrow{P Q}$ を原点の周りに $\frac{\pi}{3}$ (60度)回転させると、ベクトル $\overrightarrow{P R}$ になることを意味します。

つまり、$\angle QPR = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ です。

次に、$\frac{PR}{PQ}$ を計算します。

$\left| \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \right| = \left| \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \right| = \frac{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}}{2} = \frac{\sqrt{1+3}}{2} = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、$\frac{PR}{PQ} = 1$ より $PR = PQ$ です。

$\angle QPR = 60^{\circ}$ であり、$PR = PQ$ であることから、三角形PQRは正三角形であることがわかります。

3. 最終的な答え

①正三角形