与えられた楕円の方程式 $4x^2 + y^2 = 16$ に対応する楕円のグラフ、頂点、焦点、長軸の長さ、短軸の長さを選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた楕円の方程式 $4x^2 + y^2 = 16$ に対応する楕円のグラフ、頂点、焦点、長軸の長さ、短軸の長さを選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を楕円の標準形に変形します。方程式 $4x^2 + y^2 = 16$ の両辺を16で割ると、

$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$$

となります。これは、

$$\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$$

と表すことができます。

この楕円は、$x$軸方向に半径2、$y$軸方向に半径4の楕円であり、中心は原点(0,0)です。

長軸は$y$軸に沿っており、長軸の長さは $2 \times 4 = 8$ 、短軸は$x$軸に沿っており、短軸の長さは $2 \times 2 = 4$ です。

頂点は(2,0), (-2,0), (0,4), (0,-4)です。

焦点の座標を求めるには、$c^2 = a^2 - b^2$ を使います。この場合、$a=4$、$b=2$ なので、$c^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$ となり、$c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ となります。焦点はy軸上にあり、座標は $(0, 2\sqrt{3})$、$(0, -2\sqrt{3})$となります。

(1) の選択肢について確認すると、与えられた楕円の方程式$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1$に対応するのは選択肢の3番です。

(2) の選択肢について確認すると、選択肢3の楕円は頂点が(2,0), (-2,0), (0,4), (0,-4), 焦点が $(0, 2\sqrt{3})$、$(0, -2\sqrt{3})$、長軸の長さが8、短軸の長さが4なので、該当します。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3