問題文は、以下の図において、4点A, B, C, Dが1つの円周上にあることを示す、というものです。図は2つあります。(1)と(2)それぞれについて4点が同一円周上にあることを示す必要があります。

1. 問題の内容

問題文は、以下の図において、4点A, B, C, Dが1つの円周上にあることを示す、というものです。図は2つあります。(1)と(2)それぞれについて4点が同一円周上にあることを示す必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるためには、円周角の定理の逆が成り立つ必要があります。つまり、$\angle BAC = \angle BDC$ または $\angle ABD = \angle ACD$ が成り立つことを示せば良いです。

$\angle ABC$ = 78° であり、$\angle ACB$ が与えられていないので、$\angle ACB$ を計算します。

$\angle AEB = 78°$ なので、$\angle DEC = 78°$（対頂角）。

三角形DECの内角の和は180°なので、

$\angle EDC = 180° - (78° + 37°) = 180° - 115° = 65°$

$\angle BAC = 65°$であり、$\angle BDC = \angle EDC = 65°$なので、$\angle BAC = \angle BDC$が成り立ちます。したがって、4点A, B, C, Dは同一円周上にあります。

(2)

4点A, B, C, Dが同一円周上にあるためには、円周角の定理の逆が成り立つ必要があります。つまり、$\angle BAC = \angle BDC$ または $\angle ABD = \angle ACD$ が成り立つことを示せば良いです。

$\angle ABC = 26°$ であり、$\angle BDA$ が与えられていないので、$\angle BDA$ を計算します。

$\angle BEC = 84°$ であり、$\angle ABE = 26°$ なので、三角形ABEの内角の和は180°より、$\angle BAE = 180° - (84° + 26°) = 180° - 110° = 70°$

同様に、三角形BCEの内角の和は180°より、$\angle BCE = 180° - (84° + 110°) = 180° - 194° = -14°$

これはありえないので、問題の設定に間違いがあります。$\angle BEC$ の角度は、$\angle ABE$ と $\angle BAC$ の外角でなければならないので、110° = 84° + 26°

ここで$\angle BAC$ を計算すると、$\angle BAC = 180° - (26° + 110°) = 180° - 136° = 44°$。

三角形AECにおいて、$\angle AEC = 84°$ なので、$\angle ACE = 180° - (44° + 84°) = 180° - 128° = 52°$

三角形BDCにおいて、$\angle BDC = 180° - (110° + 52°) = 180° - 162° = 18°$

$\angle BAC = 44°$ であり、$\angle BDC = 18°$なので、$\angle BAC \neq \angle BDC$です。したがって、4点A, B, C, Dは同一円周上にありません。

3. 最終的な答え

(1) 4点A, B, C, Dは同一円周上にある。

(2) 4点A, B, C, Dは同一円周上にない。