座標平面上の点が原点Oから出発し、反時計回りに90度ずつ向きを変えながら点 $P_0=O, P_1, P_2, P_3, ...$ と進む。$OP_1 = 1$ であり、$n = 1, 2, 3, ...$ に対して、$P_nP_{n+1}$ は $P_{n-1}P_n$ の $r$ 倍である。$0 < r < 1$ のとき、点 $P_n$ は $n$ を限りなく大きくすると、ある点に近づく。その点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の点が原点Oから出発し、反時計回りに90度ずつ向きを変えながら点 $P_0=O, P_1, P_2, P_3, ...$ と進む。$OP_1 = 1$ であり、$n = 1, 2, 3, ...$ に対して、$P_nP_{n+1}$ は $P_{n-1}P_n$ の $r$ 倍である。$0 < r < 1$ のとき、点 $P_n$ は $n$ を限りなく大きくすると、ある点に近づく。その点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P_n$ の座標を求める。

$P_0 = (0, 0)$

$P_1 = (1, 0)$

$P_2 = (1, r)$

$P_3 = (1 - r^2, r)$

$P_4 = (1 - r^2, r - r^3)$

$P_n$ の座標を $(x_n, y_n)$ とすると、

$x_1 = 1, y_1 = 0$

$x_2 = 1, y_2 = r$

$x_3 = 1 - r^2, y_3 = r$

$x_4 = 1 - r^2, y_4 = r - r^3$

$x_5 = 1 - r^2 + r^4, y_5 = r - r^3$

$x_6 = 1 - r^2 + r^4, y_6 = r - r^3 + r^5$

$x$ 座標は $1 - r^2 + r^4 - r^6 + ...$ のように、初項 1、公比 $-r^2$ の無限等比級数となる。

$y$ 座標は $r - r^3 + r^5 - r^7 + ...$ のように、初項 $r$、公比 $-r^2$ の無限等比級数となる。

無限等比級数の和の公式は、$S = \frac{a}{1 - r}$ である。

ここで、$|r| < 1$ である。

$x = \frac{1}{1 - (-r^2)} = \frac{1}{1 + r^2}$

$y = \frac{r}{1 - (-r^2)} = \frac{r}{1 + r^2}$

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{1+r^2}, \frac{r}{1+r^2})$