点 $(2, 5)$ と直線 $y = -\frac{1}{3}x - 1$ の距離を求めます。答えは $ア \sqrt{イウ}$ の形式で求めます。

1. 問題の内容

点 $(2, 5)$ と直線 $y = -\frac{1}{3}x - 1$ の距離を求めます。答えは $ア \sqrt{イウ}$ の形式で求めます。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を使います。まず、直線の式を一般形に変形します。

$y = -\frac{1}{3}x - 1$ を変形して、$x + 3y + 3 = 0$ となります。

点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題では、$(x_1, y_1) = (2, 5)$ であり、$a = 1, b = 3, c = 3$ です。

したがって、距離 $d$ は、

$d = \frac{|1 \cdot 2 + 3 \cdot 5 + 3|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|2 + 15 + 3|}{\sqrt{1 + 9}}$

$d = \frac{|20|}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{20}{\sqrt{10}}$

$d = \frac{20\sqrt{10}}{10}$

$d = 2\sqrt{10}$

したがって、答えの形式 $ア \sqrt{イウ}$ と比較すると、$ア = 2$, $イウ = 10$ です。 $イ = 1$, $ウ = 0$.

3. 最終的な答え

$2\sqrt{10}$