問題は2つあります。 (2) 数列 $\{a_n\}$ について、$\sum_{k=1}^n a_k = n(2n+3)$ であるとき、$a_n$ を求めなさい。 (3) 和 $S = \sum_{k=1}^n (k+1)2^k$ を計算する過程を穴埋め形式で記述し、最終的な $S$ の式を求めなさい。ここで、$S$は $S = 8 \cdot 2^1 + 9 \cdot 2^2 + 10 \cdot 2^3 + \cdots + (n+1) \cdot 2^n$ で与えられます。このとき、$2S$ を計算し、$S$ から $2S$ を引くことで $S$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(2) 数列 $\{a_n\}$ について、$\sum_{k=1}^n a_k = n(2n+3)$ であるとき、$a_n$ を求めなさい。

(3) 和 $S = \sum_{k=1}^n (k+1)2^k$ を計算する過程を穴埋め形式で記述し、最終的な $S$ の式を求めなさい。ここで、$S$は

$S = 8 \cdot 2^1 + 9 \cdot 2^2 + 10 \cdot 2^3 + \cdots + (n+1) \cdot 2^n$

で与えられます。このとき、$2S$ を計算し、$S$ から $2S$ を引くことで $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

(2)

$\sum_{k=1}^n a_k = n(2n+3)$ であるから、

$\sum_{k=1}^{n-1} a_k = (n-1)(2(n-1)+3) = (n-1)(2n+1) = 2n^2 - n - 1$ (for $n \geq 2$)

$a_n = \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k = n(2n+3) - (2n^2 - n - 1) = 2n^2 + 3n - 2n^2 + n + 1 = 4n+1$ (for $n \geq 2$)

$n=1$ のとき $\sum_{k=1}^1 a_k = a_1 = 1(2(1)+3) = 5$

$a_n = 4n+1$ は $n=1$ のときも $a_1 = 4(1)+1 = 5$ となり成立するので、

$a_n = 4n+1$ (for $n \geq 1$)

よって、$a_n = 4n+1$

(3)

$S = 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \cdots + (n+1) \cdot 2^n$

$2S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^n + (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S = 2 \cdot 2^1 + (3-2) \cdot 2^2 + (4-3) \cdot 2^3 + \cdots + (n+1-n) \cdot 2^n - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 4 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - (n+1) \cdot 2^{n+1}$

$-S = 4 + \frac{2^2 (2^{n-1} - 1)}{2-1} - (n+1) \cdot 2^{n+1} = 4 + 4(2^{n-1} - 1) - (n+1) \cdot 2^{n+1} = 4 + 2^{n+1} - 4 - (n+1) \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - (n+1) \cdot 2^{n+1} = -n \cdot 2^{n+1}$

$S = n \cdot 2^{n+1}$

$1 \cdot S = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + ... + (n) 2^n + (n+1) 2^{n+1}$

$S= n 2^{n+1}$

3. 最終的な答え

(2) $a_n = 4n+1$

6: 4

7: 1

(3)

8: 2

9: 3

10: 4

11: 2

12: 2

13: 3

14: 1

15: n

16: n+1