地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bについて、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$であるとき、木PQの高さを求める。

1. 問題の内容

地面に垂直に立つ木PQがあり、地面の点A, Bについて、$\angle PAQ = 30^\circ$, $\angle QAB = 45^\circ$, $\angle QBA = 60^\circ$, $BQ = 20m$であるとき、木PQの高さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle QAB$において、$\angle AQB = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$である。

$\triangle QAB$に正弦定理を用いると、

$\frac{AB}{\sin \angle AQB} = \frac{BQ}{\sin \angle QAB}$

$\frac{AB}{\sin 75^\circ} = \frac{20}{\sin 45^\circ}$

$AB = \frac{20 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$

ここで、$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$AB = \frac{20 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{40 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4\sqrt{2}} = \frac{10 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 10 (\sqrt{3} + 1)$.

次に、$\triangle APQ$において、$PQ = x$とすると、$\angle PAQ = 30^\circ$なので、$AQ = \frac{PQ}{\tan 30^\circ} = \frac{x}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} x$.

$\triangle AQB$において、余弦定理を用いると、

$AB^2 = AQ^2 + BQ^2 - 2 \cdot AQ \cdot BQ \cos \angle AQB$

$(10(\sqrt{3}+1))^2 = (\sqrt{3}x)^2 + 20^2 - 2 \cdot \sqrt{3}x \cdot 20 \cdot \cos 75^\circ$

$100(3 + 2\sqrt{3} + 1) = 3x^2 + 400 - 40\sqrt{3}x \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$100(4 + 2\sqrt{3}) = 3x^2 + 400 - 10\sqrt{3}x (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

$400 + 200\sqrt{3} = 3x^2 + 400 - 10\sqrt{3}x (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

$200\sqrt{3} = 3x^2 - 10\sqrt{18}x + 10\sqrt{6}x$

$200\sqrt{3} = 3x^2 - 30\sqrt{2}x + 10\sqrt{6}x$

$3x^2 + (10\sqrt{6} - 30\sqrt{2})x - 200\sqrt{3} = 0$

別解として、$\triangle PBQ$について、$PQ = h$とすると、$\angle PBQ = 90 - 60 = 30^{\circ}$.

$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{BQ} = \frac{h}{20}$. 間違い。

$\triangle PAQ$において、$AQ = \sqrt{3} h$.

$\triangle PAB$において、$AB = \frac{AP}{\sin 60} = \frac{h}{\tan 30}$.

$\triangle AQB$において、

$AQ/ \sin 60 = BQ / \sin 45$

$\sqrt{3} h/(\sqrt{3}/2) = 20 / (1/\sqrt{2})$

$2h = 20\sqrt{2}$.

$h = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$10\sqrt{3}$ m