点A(-2, 0)からの距離と、点B(4, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(-2, 0)からの距離と、点B(4, 0)からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を$(x, y)$とします。点Aと点Pの距離を$AP$、点Bと点Pの距離を$BP$とすると、$AP:BP = 1:2$が成り立ちます。これは、$2AP = BP$と表すことができます。

距離の公式より、

$AP = \sqrt{(x - (-2))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

$BP = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

これらの式を$2AP = BP$に代入すると、

$2\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{(x-4)^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$4((x+2)^2 + y^2) = (x-4)^2 + y^2$

$4(x^2 + 4x + 4 + y^2) = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$4x^2 + 16x + 16 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$

$3x^2 + 24x + 3y^2 = 0$

$x^2 + 8x + y^2 = 0$

平方完成をします。

$(x^2 + 8x + 16) + y^2 = 16$

$(x+4)^2 + y^2 = 4^2$

これは中心が(-4, 0)、半径が4の円の方程式です。

3. 最終的な答え

$(x+4)^2 + y^2 = 16$

中心(-4, 0), 半径4の円