与えられた3つの集合A, B, Cそれぞれについて、上限と下限を求める問題です。ここで、集合の要素は自然数 $n$ を用いて定義されています。 $A = \{3 - \frac{2}{n} | n \in \mathbb{N}\}$ $B = \{1 + \frac{1}{3n} | n \in \mathbb{N}\}$ $C = \{\frac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N}\}$

1. 問題の内容

与えられた3つの集合A, B, Cそれぞれについて、上限と下限を求める問題です。ここで、集合の要素は自然数 $n$ を用いて定義されています。

$A = \{3 - \frac{2}{n} | n \in \mathbb{N}\}$

$B = \{1 + \frac{1}{3n} | n \in \mathbb{N}\}$

$C = \{\frac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N}\}$

2. 解き方の手順

各集合について、上限と下限を求めます。

(1) 集合Aの場合:

$A = \{3 - \frac{2}{n} | n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて $\frac{2}{n}$ は0に近づくため、$3 - \frac{2}{n}$ は3に近づきます。ただし、$n$がどんなに大きくなっても3を超えることはありません。

$n=1$ のとき、$3 - \frac{2}{1} = 1$ であり、これが最小値となります。

したがって、上限は3、下限は1です。

(2) 集合Bの場合:

$B = \{1 + \frac{1}{3n} | n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて $\frac{1}{3n}$ は0に近づくため、$1 + \frac{1}{3n}$ は1に近づきます。ただし、$n$がどんなに大きくなっても1を超えることはありません。

$n=1$ のとき、$1 + \frac{1}{3(1)} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ であり、これが最大値となります。

したがって、上限は $\frac{4}{3}$、下限は1です。

(3) 集合Cの場合:

$C = \{\frac{1}{2^n} | n \in \mathbb{N}\}$

$n$ が大きくなるにつれて $\frac{1}{2^n}$ は0に近づきます。ただし、$n$がどんなに大きくなっても0を超えることはありません。

$n=1$ のとき、$\frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$ であり、これが最大値となります。

したがって、上限は $\frac{1}{2}$、下限は0です。

3. 最終的な答え

(1) 集合A:

上限: 3

下限: 1

(2) 集合B:

上限: $\frac{4}{3}$

下限: 1

(3) 集合C:

上限: $\frac{1}{2}$

下限: 0