円に内接する四角形や接線に関する問題で、角度$\alpha$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形や接線に関する問題で、角度$\alpha$を求める問題です。

2. 解き方の手順

**(1)**

四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180°です。つまり、

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle A = \angle BAD = \angle B A B + \angle D A C = 48^\circ + 57^\circ = 105^\circ$

したがって、$\alpha = \angle C$ は

$\alpha = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

**(2)**

まず、円周角の定理より、$\angle BDA = \angle BCA$ です。

また、$\angle ABE = \alpha$ です。

三角形BCEにおいて、外角の定理より、$\angle BCA = \angle ABE + \angle BEC$ です。

つまり、$\angle BDA = \alpha + 30^\circ$

一方、$\angle ABD = 55^\circ$ です。

三角形ABDにおいて、内角の和は180°なので、

$\angle BAD + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ$

$55^\circ + \angle ABD + \alpha + 30^\circ = 180^\circ$

$55^\circ + \alpha + 30^\circ + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ADB + \angle ABD + \angle BAD = 180^\circ$

$55^\circ + (\alpha + 30^\circ) + \angle BAD = 180^\circ$

接弦定理より、$\angle BAD = \angle BCE = 180^\circ - \alpha - 30^\circ$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ABC = \alpha$ なので、$\alpha + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - \alpha$

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$

$\angle BDC = \angle BAC = 55^\circ$

$180^\circ - \alpha = \angle ADB + 55^\circ$

$\angle ADB = 125^\circ - \alpha$

$\angle BDA = \alpha + 30^\circ$

よって、$125^\circ - \alpha = \alpha + 30^\circ$

$2\alpha = 95^\circ$

$\alpha = 47.5^\circ$

しかしこれは正しくない。

角CBEに注目すると、これは円周角なので、$\angle CBE = \angle CAE$

三角形BCEの内角の和は180°なので、$30^\circ + \alpha + \angle BCE = 180^\circ$

接弦定理より、$\angle BCE = \angle BAD = 55^\circ$

よって、$30^\circ + \alpha + 55^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 75^\circ$

(2) $\alpha = 95^\circ$