直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$3\sqrt{3}$、AD=4、AE=3である。∠AFC=θとするとき、cosθの値を求めよ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$3\sqrt{3}$、AD=4、AE=3である。∠AFC=θとするとき、cosθの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、△AEF、△BCF、△ABCはそれぞれ直角三角形なので、AF、CF、ACの長さを求める。

AFを求める。

$AF^2 = AE^2 + EF^2$

$AF^2 = 3^2 + (3\sqrt{3})^2 = 9 + 27 = 36$

$AF = \sqrt{36} = 6$

CFを求める。

$CF^2 = BC^2 + BF^2$

$CF^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$CF = \sqrt{25} = 5$

ACを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = (3\sqrt{3})^2 + 4^2 = 27 + 16 = 43$

$AC = \sqrt{43}$

△AFCに余弦定理を適用する。

$AC^2 = AF^2 + CF^2 - 2 \cdot AF \cdot CF \cdot \cos \theta$

$(\sqrt{43})^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos \theta$

$43 = 36 + 25 - 60 \cos \theta$

$43 = 61 - 60 \cos \theta$

$60 \cos \theta = 61 - 43 = 18$

$\cos \theta = \frac{18}{60} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{3}{10}$