与えられた定積分を計算します。定積分は $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。定積分は $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ です。

2. 解き方の手順

この定積分は初等関数では表せないことが知られています。したがって、テイラー展開を用いて近似値を求める必要があります。$\sin x$ のテイラー展開は以下の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

したがって、$\frac{\sin x}{x}$ は次のようになります。

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

これを積分します。

$\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx = \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots \right) dx$

各項を積分します。

$\int_{0}^{1} x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \Big|_0^1 = \frac{1}{n+1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx = \left[x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots \right]_0^1$

$\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx = 1 - \frac{1}{3 \cdot 3!} + \frac{1}{5 \cdot 5!} - \frac{1}{7 \cdot 7!} + \cdots$

いくつか項を計算して、近似値を求めます。

$1 - \frac{1}{3 \cdot 6} + \frac{1}{5 \cdot 120} - \frac{1}{7 \cdot 5040} + \cdots$

$= 1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \cdots$

$\approx 1 - 0.055555 + 0.001666 - 0.000028 + \cdots$

$\approx 0.946083$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx \approx 0.946083$

あるいは、Si(1) という特殊関数で表されます。Si(1) ≈ 0.946083