直線 $y = 2x - 1$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きを求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きを求める。

2. 解き方の手順

直線の傾きを $m$ とする。直線 $y = 2x - 1$ の傾きは $2$ である。

2つの直線がなす角を$\theta$とすると、

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

ここで、$m_1$ と $m_2$ はそれぞれの直線の傾きを表す。$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\tan \theta = \tan \frac{\pi}{4} = 1$ である。

$m_1 = 2$ とすると、

$$1 = \left| \frac{2 - m}{1 + 2m} \right|$$

したがって、

$$\frac{2 - m}{1 + 2m} = 1 \quad または \quad \frac{2 - m}{1 + 2m} = -1$$

場合1: $\frac{2 - m}{1 + 2m} = 1$ のとき、

$$2 - m = 1 + 2m$$

$$1 = 3m$$

$$m = \frac{1}{3}$$

場合2: $\frac{2 - m}{1 + 2m} = -1$ のとき、

$$2 - m = -1 - 2m$$

$$m = -3$$

よって、求める直線の傾きは $\frac{1}{3}$ と $-3$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}, -3$