分数の分母を有理化し、$a + b\sqrt{3}$の形に変形したとき、$a+b$の値を求めよ。ここで、$a$と$b$は整数である。元の分数は$\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$である。

1. 問題の内容

分数の分母を有理化し、$a + b\sqrt{3}$の形に変形したとき、$a+b$の値を求めよ。ここで、$a$と$b$は整数である。元の分数は$\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$である。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の共役な複素数である$2 - \sqrt{3}$を分子と分母の両方に掛けます。

$$\frac{1-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$

次に、分子と分母をそれぞれ計算します。

分子:

$(1-\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 1*2 - 1*\sqrt{3} - 2*\sqrt{3} + \sqrt{3}*\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 3 = 5 - 3\sqrt{3}$

分母:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2*2 - 2*\sqrt{3} + 2*\sqrt{3} - \sqrt{3}*\sqrt{3} = 4 - 3 = 1$

したがって、分数全体は次のようになります。

$$\frac{5 - 3\sqrt{3}}{1} = 5 - 3\sqrt{3}$$

これは$a + b\sqrt{3}$の形であり、$a = 5$、$b = -3$です。

最後に、$a + b$を計算します。

$a + b = 5 + (-3) = 2$

3. 最終的な答え

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