PQ = 10、∠AQB = 150°である三角形PABにおいて、ABの長さを求める。ただし、QはPからABに下ろした垂線の足である。

1. 問題の内容

PQ = 10、∠AQB = 150°である三角形PABにおいて、ABの長さを求める。ただし、QはPからABに下ろした垂線の足である。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形PQAとPQBに着目する。

∠PAQ = 30°なので、AQの長さを求める。

$AQ = PQ / tan(60°) = 10 / \sqrt{3}$

∠PBQ = 45°なので、BQの長さを求める。

$BQ = PQ / tan(45°) = 10$

次に、三角形AQBに余弦定理を適用する。

$AB^2 = AQ^2 + BQ^2 - 2 * AQ * BQ * cos(∠AQB)$

$AB^2 = (10 / \sqrt{3})^2 + 10^2 - 2 * (10 / \sqrt{3}) * 10 * cos(150°)$

$AB^2 = (100 / 3) + 100 - 200 / \sqrt{3} * (-\sqrt{3} / 2)$

$AB^2 = (100 / 3) + 100 + 100$

$AB^2 = (100 / 3) + 200$

$AB^2 = (100 + 600) / 3$

$AB^2 = 700 / 3$

$AB = \sqrt{700 / 3} = 10\sqrt{7/3} = (10/3) \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

$AB = \frac{10\sqrt{21}}{3}$