$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{3}$のとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \theta$ の値を求める。$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\cos \theta < 0$である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

したがって、

$\cos \theta = - \sqrt{\frac{8}{9}} = - \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\sin 2\theta$ の値を求める。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{1}{3} \times (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = - \frac{4\sqrt{2}}{9}$

次に、$\cos \frac{\theta}{2}$ の値を求める。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos \frac{\theta}{2} > 0$である。

$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ より、

$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3}$

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{2}}{6}} = \sqrt{\frac{( \sqrt{2} - 1)^2}{6}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

最後に、$\cos 3\theta$ の値を求める。

$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta = 4(-\frac{2\sqrt{2}}{3})^3 - 3(-\frac{2\sqrt{2}}{3}) = 4 (-\frac{16\sqrt{2}}{27}) + 2\sqrt{2} = -\frac{64\sqrt{2}}{27} + \frac{54\sqrt{2}}{27} = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

$\cos 3\theta = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$