与えられた4つの問題について、方程式または不等式を解きます。 (1) $x^3 - 8 = 0$ (2) $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ (3) $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$ (4) $\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$

1. 問題の内容

与えられた4つの問題について、方程式または不等式を解きます。

(1) $x^3 - 8 = 0$

(2) $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$

(3) $0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$

(4) $\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 8 = 0$ を解きます。

$x^3 = 8$

$x^3 - 2^3 = 0$

$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

$x - 2 = 0$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$

$x = 2$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2}$

$x = -1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $\sqrt{x^2} \geq \frac{1}{x}$ を解きます。

$\sqrt{x^2} = |x|$ であるから、

$|x| \geq \frac{1}{x}$

$x > 0$ のとき、$x \geq \frac{1}{x}$

$x^2 \geq 1$

$x \geq 1$ (∵ $x > 0$)

$x < 0$ のとき、$-x \geq \frac{1}{x}$

$-x^2 \geq 1$

$x^2 \leq -1$

これは解なし

(3) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta < 1$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) を解きます。

$2(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) < 1$

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < 1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) < \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \leq \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$, $\frac{13\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$

$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

(4) $\log_2(x-2) \leq 3 + \log_{\frac{1}{2}}(x-4)$ を解きます。

真数条件より、$x-2 > 0$ かつ $x-4 > 0$

$x > 2$ かつ $x > 4$

$x > 4$

$\log_2(x-2) \leq 3 - \log_2(x-4)$

$\log_2(x-2) + \log_2(x-4) \leq 3$

$\log_2((x-2)(x-4)) \leq 3$

$(x-2)(x-4) \leq 2^3$

$x^2 - 6x + 8 \leq 8$

$x^2 - 6x \leq 0$

$x(x-6) \leq 0$

$0 \leq x \leq 6$

真数条件より、$x > 4$ であるから、$4 < x \leq 6$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x \geq 1$

(3) $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6} < \theta < 2\pi$

(4) $4 < x \leq 6$