関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分してください。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x^2 - 1$ のべき乗の形で書き換えます。

$y = (x^2 - 1)^{-1}$

次に、合成関数の微分（連鎖律）を使います。連鎖律とは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題では、$g(x) = x^2 - 1$ とすると、$y = g(x)^{-1}$ となります。

まず、$y$ を $g$ で微分します。

$\frac{dy}{dg} = -1 \cdot g^{-2} = - \frac{1}{g^2}$

次に、$g(x)$ を $x$ で微分します。

$\frac{dg}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

連鎖律を用いて、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = -\frac{1}{g^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2 - 1)^2}$