関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理することを試みます。分子を $x-2$ で割ってみます。

$x^3 - 4x + 2 = (x^2 + 2x)(x - 2) + 2$

したがって、

$x^3 - 4x + 2 = (x^2 + 2x)(x - 2) + 2$

すると、

$y = \frac{x^3 - 4x + 2}{x - 2} = \frac{(x^2 + 2x)(x - 2) + 2}{x - 2} = x^2 + 2x + \frac{2}{x - 2}$

次に、それぞれの項を微分します。

$\frac{d}{dx} x^2 = 2x$

$\frac{d}{dx} 2x = 2$

$\frac{d}{dx} \frac{2}{x - 2} = 2 \frac{d}{dx} (x - 2)^{-1} = 2(-1)(x - 2)^{-2} (1) = -\frac{2}{(x - 2)^2}$

したがって、

$y' = 2x + 2 - \frac{2}{(x - 2)^2}$

整理すると、

$y' = 2x + 2 - \frac{2}{(x-2)^2} = \frac{(2x+2)(x-2)^2 - 2}{(x-2)^2} = \frac{(2x+2)(x^2-4x+4) - 2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 8x^2 + 8x + 2x^2 - 8x + 8 - 2}{(x-2)^2} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3 - 6x^2 + 6}{(x-2)^2}$