平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺DCを2:1に内分する点をFとする。AFとEDの交点をG、AFとBDの交点をHとする。以下の比を求めよ。 (1) AH:AF (2) AG:AF (3) AH:AG (4) △DGHの面積 : 平行四辺形ABCDの面積

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺DCを2:1に内分する点をFとする。AFとEDの交点をG、AFとBDの交点をHとする。以下の比を求めよ。

(1) AH:AF

(2) AG:AF

(3) AH:AG

(4) △DGHの面積 : 平行四辺形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) AH:AF

まず、点Hにおける線分の比を求めるために、メネラウスの定理を△BCFと直線BDに関して適用する。

$\frac{CD}{DF} \cdot \frac{FA}{AH} \cdot \frac{HB}{BC} = 1$

$CD:DF = 2:1$より、$CD = 2DF$。したがって$\frac{CD}{DF} = 2$。また、平行四辺形の対辺なので、$BC = AD$。また$AD = DF+FC$より$BC = DF+FC$。$DC = 2DF$なので、$FC = DC - DF = 2DF - DF = DF$

ゆえに$BC= 2DF$

また$\frac{HB}{BC} = \frac{1}{x}$とおくと、$BC = xHB$

したがって

$2 \cdot \frac{AF}{AH} \cdot \frac{HB}{2DF}=1$

$\frac{AF}{AH} \cdot \frac{HB}{DF} =1$

$HB = \frac{DF}{HB}$

$BC= 2DF$　より、

$BF = BC + CF = 2DF + DF = 3DF$

ここで,$\triangle ABH$と$\triangle FDH$の相似より

$AH:HF = AB:FC$

$AH:HF = AB:DF$

$AB=2DF$　より

$AH:HF=2DF:DF$

$AH:HF = 2:1$

$AH=2HF$ より $AF = AH + HF = 2HF + HF = 3HF$　よって$HF = \frac{1}{3}AF$

よって

$AH = \frac{2}{3}AF$

$\frac{AH}{AF} = \frac{2}{3}$

$AH:AF = 2:3$

(2) AG:AF

$\triangle AEG$と$\triangle FDG$において

$AE=EB$

$DF=FC$

$AB$//$DC$

ゆえに、$AE$//$DF$

$\triangle AEG \sim \triangle FDG$

相似比　$AE:DF = \frac{1}{2}AB : \frac{1}{3}DC$

$=\frac{1}{2}AB : \frac{1}{3}AB$

$=\frac{1}{2}:\frac{1}{3} = 3:2$

よって

$AG:GF = 3:2$

したがって$AF=AG+GF = AG + \frac{2}{3}AG = \frac{5}{3}AG$

$AG = \frac{3}{5}AF$

$AG:AF = 3:5$

(3) AH:AG

$AH:AF=2:3$

$AG:AF=3:5$

$AH = \frac{2}{3}AF$

$AG = \frac{3}{5}AF$

$\frac{AH}{AG} = \frac{\frac{2}{3}AF}{\frac{3}{5}AF} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{9}$

$AH:AG = 10:9$

(4) (△DGHの面積) : (平行四辺形ABCDの面積)

$AF=AH+HF$　より　$\frac{3}{2}AH$

$AH:HF = 2:1$なので

$HF = \frac{1}{2}AH$

$\triangle DHF = \frac{HF}{AF} \triangle ADF = \frac{\frac{1}{3}AF}{AF} \triangle ADF = \frac{1}{3} \triangle ADF$

$\triangle ADF = \frac{DF}{DC} \triangle ADC = \frac{1}{3} \triangle ADC$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} 平行四辺形ABCD$

よって

$\triangle DHF = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} 平行四辺形ABCD = \frac{1}{18} 平行四辺形ABCD$

$\triangle ADG = \frac{AG}{AF} \triangle ADF = \frac{3}{5} \triangle ADF = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3} \triangle ADC = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} 平行四辺形ABCD = \frac{1}{10}平行四辺形ABCD$

$\triangle DGH = \triangle ADG - \triangle ADH = \frac{1}{10}平行四辺形ABCD - \frac{1}{18}平行四辺形ABCD = (\frac{1}{10}-\frac{1}{18})平行四辺形ABCD = (\frac{9}{90} - \frac{5}{90}) 平行四辺形ABCD = \frac{4}{90}平行四辺形ABCD = \frac{2}{45}平行四辺形ABCD$

$\triangle DGH : 平行四辺形ABCD = \frac{2}{45} : 1 = 2:45$

3. 最終的な答え

(1) AH:AF = 2:3

(2) AG:AF = 3:5

(3) AH:AG = 10:9

(4) △DGHの面積 : 平行四辺形ABCDの面積 = 2:45