一辺の長さが3である正四面体PABCにおいて、頂点Pから三角形ABCに下ろした垂線をPHとする。 (1) PHの長さを求める。 (2) 正四面体PABCの体積Vを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3である正四面体PABCにおいて、頂点Pから三角形ABCに下ろした垂線をPHとする。

(1) PHの長さを求める。

(2) 正四面体PABCの体積Vを求める。

2. 解き方の手順

(1) PHの長さの求め方

正四面体の底面である正三角形ABCの中心をHとすると、PHは高さとなる。

正三角形ABCの一辺の長さをaとすると、この問題の場合a=3となる。

まず、正三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

次に、正三角形ABCの外接円の半径Rを求める。

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

PHの長さをxとすると、直角三角形PHAにおいて三平方の定理より、

$PA^2 = PH^2 + AH^2$

$3^2 = x^2 + (\sqrt{3})^2$

$9 = x^2 + 3$

$x^2 = 6$

$x = \sqrt{6}$

よって、PHの長さは$\sqrt{6}$である。

(2) 正四面体PABCの体積Vの求め方

正四面体の体積Vは、底面積Sと高さPHを用いて、

$V = \frac{1}{3} \times S \times PH$

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{4} \times \sqrt{6}$

$V = \frac{9\sqrt{18}}{12} = \frac{9 \times 3\sqrt{2}}{12} = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) PHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 正四面体PABCの体積V: $\frac{9\sqrt{2}}{4}$