平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺DCを2:1に内分する点をFとする。線分AFとED、BDとの交点をそれぞれG, Hとするとき、以下の比を求める。 (1) AH:AF (2) AG:AF (3) AH:AG (4) (三角形DGHの面積):(平行四辺形ABCDの面積)

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABの中点をE、辺DCを2:1に内分する点をFとする。線分AFとED、BDとの交点をそれぞれG, Hとするとき、以下の比を求める。

(1) AH:AF

(2) AG:AF

(3) AH:AG

(4) (三角形DGHの面積):(平行四辺形ABCDの面積)

2. 解き方の手順

(1) AH:AFについて

三角形ABHと三角形FDHに着目する。

ABとDFは平行なので、錯角が等しくなる。したがって、三角形ABHと三角形FDHは相似である。

AB = 2DFなので、相似比は2:1。

よって、AH:HF = 2:1。

AH:AF = AH:(AH+HF) = 2:(2+1) = 2:3。

(2) AG:AFについて

メネラウスの定理を三角形AEFと直線BDに適用する。

$\frac{AD}{DE} \times \frac{EB}{BA} \times \frac{AG}{GF} = 1$

$AD = BC$, $AB=CD$で$CD=3DF$, $EB = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}DF$なので、$AD=\frac{3}{2}DF$

$\frac{DE}{AD}=\frac{DE}{\frac{3}{2}CD}$

ここで、EDは中線なので、$DE = \frac{\sqrt{5}}{2}AB = \frac{\sqrt{5}}{2}CD$

よって$\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}CD}{\frac{3}{2}CD}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$AD/DE = \frac{3}{\sqrt{5}}$

$\frac{EB}{BA} = \frac{1}{2}$

$\frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{2} \times \frac{AG}{GF} = 1$

$\frac{AG}{GF} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$

AG:AF = AG:(AG+GF) = $2\sqrt{5}:(2\sqrt{5} + 3)$

AG:AF = $2\sqrt{5}/(2\sqrt{5}+3)$

次に、EからAFへ平行線を引くと、その線はBDをIで交差する。

すると、三角形AEGと三角形FIGは相似となり、AE:FI=2:1。

AD=BCから、AB=CD=2DFから、AE=EB=CD/2=DF。AEとDFが平行なので、平行四辺形AEDF。EDとAFの交点GはEDの中点である。

よって、$AG=GF$となり、AG:AF=1:2。

(3) AH:AGについて

(1)よりAH:AF = 2:3

(2)よりAG:AF = 1:2 つまりAF=2AG

AH:2AG = 2:3

AH:AG = 4:3

(4) (三角形DGHの面積):(平行四辺形ABCDの面積)について

三角形DGHの面積は、三角形DBFの面積の $\frac{DH}{DB} \times \frac{DG}{DF}$ で求められる。

(1)より、DH:HB = 1:2なのでDH:DB=1:3

(2)より、DG:DF = AG:AF = 1:2。よって

三角形DGHの面積 = 三角形DBFの面積 $\times$ (1/3) $\times$ (1/2) = 三角形DBFの面積 $\times$ (1/6)

三角形DBFの面積 = 平行四辺形ABCDの面積 $\times$ (1/2) $\times$ (1/3) = 平行四辺形ABCDの面積 $\times$ (1/6)

三角形DGHの面積 = 平行四辺形ABCDの面積 $\times$ (1/6) $\times$ (1/6) = 平行四辺形ABCDの面積 $\times$ (1/36)

(三角形DGHの面積):(平行四辺形ABCDの面積) = 1:36

3. 最終的な答え

(1) AH:AF = 2:3

(2) AG:AF = 1:2

(3) AH:AG = 4:3

(4) (三角形DGHの面積):(平行四辺形ABCDの面積) = 1:36