与えられた二次関数 $y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$ のグラフを描くために、頂点の座標を求め、グラフの概形を把握することが求められています。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$ のグラフを描くために、頂点の座標を求め、グラフの概形を把握することが求められています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 2x + \frac{5}{4}$

$y = 2(x^2 - x) + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x^2 - x + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + \frac{5}{4}$

$y = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

したがって、この二次関数の頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ となります。

また、$x^2$ の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線です。

3. 最終的な答え

頂点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ であり、グラフは下に凸の放物線である。