$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$という三角関数の恒等式を利用する。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$を代入すると、

$(\frac{2\sqrt{5}}{5})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{20}{25} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta$は正の値をとる。

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$を用いて$\tan \theta$を求める。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = 2$