(4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$、部分集合 $B = \{2, 6, 8, 9\}$ について、$\overline{A} \cap B$ を求める。 (5) 2次関数 $y = x^2 - mx + m + 3$ の実数解の個数を $m$ の範囲から調べる。

1. 問題の内容

(4) 全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$、部分集合 $B = \{2, 6, 8, 9\}$ について、$\overline{A} \cap B$ を求める。

(5) 2次関数 $y = x^2 - mx + m + 3$ の実数解の個数を $m$ の範囲から調べる。

2. 解き方の手順

(4) まず、$\overline{A}$ (Aの補集合) を求めます。$\overline{A}$ は U の要素のうち A に含まれない要素の集合です。

次に、$\overline{A} \cap B$ を求めます。これは $\overline{A}$ と B の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{2, 4, 6\}$

$\overline{A} \cap B = \{2, 6, 8, 9\} \cap \{2, 4, 6\} = \{2, 6\}$

(5) 2次関数 $y = x^2 - mx + m + 3$ の実数解の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって決まります。

$D > 0$ ならば実数解は2個、$D = 0$ ならば実数解は1個、$D < 0$ ならば実数解は0個です。

この問題の場合、$a = 1$, $b = -m$, $c = m + 3$ なので、判別式は次のようになります。

$D = (-m)^2 - 4(1)(m + 3) = m^2 - 4m - 12$

判別式を $m$ について解くために、$m^2 - 4m - 12 = 0$ を解きます。

$m^2 - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2) = 0$

$m = 6$ または $m = -2$

したがって、$m^2 - 4m - 12 > 0$ のとき、$m < -2$ または $m > 6$ で、実数解は2個。

$m^2 - 4m - 12 = 0$ のとき、$m = -2$ または $m = 6$ で、実数解は1個。

$m^2 - 4m - 12 < 0$ のとき、$-2 < m < 6$ で、実数解は0個。

3. 最終的な答え

(4) $\overline{A} \cap B = \{2, 6\}$

(5)

- $m < -2$ または $m > 6$ のとき、実数解は2個

- $m = -2$ または $m = 6$ のとき、実数解は1個

- $-2 < m < 6$ のとき、実数解は0個