底面積が同じで高さがそれぞれ30cm, 45cm, 60cmの3種類の円柱A, B, Cがある。これらの円柱をいくつか積み重ねて高さ3m (300cm)の円柱を作る。積み重ねた円柱はA, B, Cの3種類を含み、全体の個数は7個である。A, B, Cそれぞれの個数を求める。

1. 問題の内容

底面積が同じで高さがそれぞれ30cm, 45cm, 60cmの3種類の円柱A, B, Cがある。これらの円柱をいくつか積み重ねて高さ3m (300cm)の円柱を作る。積み重ねた円柱はA, B, Cの3種類を含み、全体の個数は7個である。A, B, Cそれぞれの個数を求める。

2. 解き方の手順

A, B, Cの個数をそれぞれ$x, y, z$とする。問題文から、次の2つの式が立てられる。

* 個数に関する式: $x + y + z = 7$

* 高さに関する式: $30x + 45y + 60z = 300$

高さに関する式を15で割ると:

$2x + 3y + 4z = 20$

個数に関する式を2倍すると:

$2x + 2y + 2z = 14$

高さに関する式から個数に関する式の2倍を引くと:

$(2x + 3y + 4z) - (2x + 2y + 2z) = 20 - 14$

$y + 2z = 6$

$y = 6 - 2z$

ここで、$x, y, z$は自然数である必要がある。

$y = 6 - 2z$より、$y$は偶数であり、$z$の取りうる値は、$z=1, 2, 3$である。

* $z = 1$のとき、$y = 6 - 2(1) = 4$。$x = 7 - y - z = 7 - 4 - 1 = 2$。

* $z = 2$のとき、$y = 6 - 2(2) = 2$。$x = 7 - y - z = 7 - 2 - 2 = 3$。

* $z = 3$のとき、$y = 6 - 2(3) = 0$。$y$は自然数なので不適。

したがって、$z=1, y=4, x=2$または$z=2, y=2, x=3$のいずれかである。

3. 最終的な答え

Aが2個、Bが4個、Cが1個、またはAが3個、Bが2個、Cが2個。

A: 2個, B: 4個, C: 1個

または

A: 3個, B: 2個, C: 2個