与えられた二次方程式 $x^2 + 5x - 2 = 0$ を平方完成を用いて解き、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式 $x^2 + 5x - 2 = 0$ を平方完成を用いて解き、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、定数項 $-2$ を右辺に移項します。

$x^2 + 5x = 2$

次に、$x$ の係数 $5$ の半分の二乗を両辺に加えます。$x$の係数の半分は $\frac{5}{2}$ であり、その二乗は $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$ です。したがって、両辺に $\frac{25}{4}$ を加えます。

$x^2 + 5x + \frac{25}{4} = 2 + \frac{25}{4}$

左辺を平方完成します。

$(x + \frac{5}{2})^2 = 2 + \frac{25}{4}$

右辺を通分して計算します。

$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{8}{4} + \frac{25}{4}$

$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{33}{4}$

両辺の平方根を取ります。

$x + \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{33}{4}}$

$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$

$x$ について解きます。

$x = -\frac{5}{2} \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}$

3. 最終的な答え

空欄を埋めると以下のようになります。

-2を移項すると $x^2 + 5x = 2$

両辺に $x$ の係数の半分の2乗を加えると $x^2 + 5x + \frac{25}{4} = 2 + \frac{25}{4}$

$(x + \frac{5}{2})^2 = \frac{33}{4}$

$x + \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$

よって $x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{2}$